Question

（2013•江門一模）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，離心率e=

3

2

，右焦點(diǎn)為F(

3

，0)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A，在橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使得向量

OP

+

OA

與

FA

共線？若存在，求直線AP的方程；若不存在，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由離心率焦點(diǎn)坐標(biāo)可得及

c

a

=

3

2

，c=

3

，再根據(jù)a²=b²+c²，聯(lián)立方程組解出即可；
（2）假設(shè)橢圓C上是存在點(diǎn)P（x₀，y₀），使得向量

OP

+

OA

與

FA

共線，由向量共線及點(diǎn)P在橢圓上得方程組，解出可得點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線AP方程；

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓C的離心率e=

3

2

，右焦點(diǎn)為F(

3

，0)，∴

c

a

=

3

2

，c=

3

，
∵a²=b²+c²，∴a=2，b=1，c=

3

，
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．       
（2）假設(shè)橢圓C上是存在點(diǎn)P（x₀，y₀），使得向量

OP

+

OA

與

FA

共線，
∵

OP

+

OA

=(x0，y0+1)，

FA

=(-

3

，1)，∴

x0

- 3

=

y0+1

1

，即x0=-

3

(y0+1)，（1）
又∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓

x2

4

+y2=1上，∴

x02

4

+y02=1（2），
由（1）、（2）組成方程組解得

x0=0 y0=-1

，或

x0=- 8 3 7 y0= 1 7

，
∴P（0，-1），或P(-

8 3

7

，

1

7

)，
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，直線AP的方程為x=0，
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(-

8 3

7

，

1

7

)時(shí)，直線AP的方程為

3

x-4y+4=0，
故橢圓上存在滿足條件的點(diǎn)P，直線AP的方程為x=0或

3

x-4y+4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解及向量共線問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．