Question

(本小題滿分13分)
已知正項數(shù)列{an}的首項a1＝，函數(shù)f(x)＝，g(x)＝.
(1)若正項數(shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)(n∈N*)，證明：{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若正項數(shù)列{an}滿足an＋1≤f(an)(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝，證明：b1＋b2＋…＋bn<1；
(3)若正項數(shù)列{an}滿足an＋1＝g(an)，求證：|an＋1－an|≤·()n－1

Answer 1

（1）證明略
（2）證明略
（3）證明略

解析證明：(1)∵an＋1＝f(an)＝，∴＝＝＋1，即－＝1，
∴{}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列.
∴＝2＋(n－1)，即an＝.(3分)
(2)證明：∵an＋1≤，an>0，∴≥，即－≥1.
當n≥2時，－＝(－)＋(－)＋…＋(－)≥n－1，
∴≥n＋1，∴an≤.
當n＝1時，上式也成立，∴an≤(n∈N*)，
∴bn＝≤<＝－，
∴b1＋b2＋…＋bn<(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.(8分)
(3)∵a1＝，a2＝g(a1)＝，a2－a1＝－＝>0.
又∵an＋1－an＝－＝，
由迭代關(guān)系可知，an＋1－an>0，∴an≥a1＝.
又∵(2＋an)(2＋an－1)＝(2＋)(2＋an－1)＝5＋4an－1≥7，
∴≤，
∴
∴(13分)