【題目】如圖,四邊形ABCD是圓柱OO′的軸截面,點(diǎn)P在圓柱OO′的底面圓周上,圓柱OO′的底面圓的半徑OA=1,側(cè)面積為2π,∠AOP=60°.

(1)求證:PB⊥平面APD;

(2)是否存在點(diǎn)G在PD上,使得AG⊥BD;并說(shuō)明理由.

(3)求三棱錐D-AGB的體積.

【答案】(1)見(jiàn)解析; (2)見(jiàn)解析; (3).

【解析】

(1)由為圓的直徑,可得,再由平面,得,然后利用線面垂直的判定可得平面;

(2)存在,當(dāng)點(diǎn)中點(diǎn)時(shí),.由側(cè)面積公式求得,進(jìn)一步得到,由的中點(diǎn),可得,再由(1)得,由線面垂直的判定可得平面,則

(3)直接利用等積法求三棱錐的體積.

(1)證明:∵AB為圓O的直徑,∴PB⊥PA,

∵AD⊥平面PAB,∴PB⊥AD,

又PA∩AD=A,∴PB⊥平面APD;

(2)解:存在.當(dāng)點(diǎn)G是PD中點(diǎn)時(shí),AG⊥BD.

事實(shí)上,由題意可知,2π×1×AD=2π,解得AD=1.

由∠AOP=60°,可得△AOP為等邊三角形,得到AP=OA=1.

在Rt△PAD中,∵AD=AP,G是PD的中點(diǎn),

則AG⊥PD.由(1)得PB⊥AG,PD∩PB=P,

∴AG⊥平面PBD,則AG⊥BD;

(3)

在Rt△APB中,∵AB=2,AP=1,∴PB=

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