Question

（2013•昌平區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2-alnx(a＞0)．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（III）若f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=-1，f（1）=

1

2

，進而可得方程，化為一般式即可；
（Ⅱ）可得x=

a

為函數(shù)的臨界點，分

a

≤1，1＜

a

＜e，

a

≥e，三種情形來討論，可得最值；
（III）由（II）可知當0＜a≤1或a≥e²時，不合題意，當1＜a＜e²時，需

1 2 a(1-lna)＜0 f(1)= 1 2 ＞0 f(e)= 1 2 e2-a＞0

，解之可得a的范圍．

解答：解：（I）當a=2時，f（x）=

1

2

x2-2lnx，f′（x）=x-

2

x

，
∴f′（1）=-1，f（1）=

1

2

，
故f（x）在（1，f（1））處的切線方程為：y-

1

2

=-（x-1）
化為一般式可得2x+2y-3=0…..（3分）
（Ⅱ）求導數(shù)可得f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

由a＞0及定義域為（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=

a

，
①若

a

≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
因此，f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值為f（1）=

1

2

．
②若1＜

a

＜e，即1＜a＜e²，在（1，

a

）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（

a

，e）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，因此f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（

a

）=

1

2

a(1-lna)，
③若

a

≥e，即a≥e²在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
因此，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（e）=

1

2

e2-a．
綜上，當0＜a≤1時，f_min（x）=

1

2

；當1＜a＜e²時，f_min（x）=

1

2

a(1-lna)；
當a≥e²時，f_min（x）=

1

2

e2-a．…．（9分）
（III） 由（II）可知當0＜a≤1或a≥e²時，f（x）在（1，e）上是單調(diào)遞增或遞減函數(shù)，不可能存在兩個零點．
當1＜a＜e²時，要使f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，則

1 2 a(1-lna)＜0 f(1)= 1 2 ＞0 f(e)= 1 2 e2-a＞0

 即

a＞e a＜ 1 2 e2

，此時，e＜a＜

1

2

e2．
所以，a的取值范圍為（e，

1

2

e2）…..（13分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線，涉及函數(shù)的零點和閉區(qū)間的最值，屬中檔題．