Question

【題目】數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)有機(jī)組成部分，是在基礎(chǔ)性、拓展性課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)的和現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題的一種有意義的主動(dòng)學(xué)習(xí)，是以學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦主動(dòng)探索實(shí)踐和相互交流為主要學(xué)習(xí)方式的學(xué)習(xí)研究活動(dòng)．某同學(xué)就在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．

①；

②；

③；

④；

⑤．

（1）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；

（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，歸納出一個(gè)三角恒等式；

（3）利用所學(xué)知識(shí)證明這個(gè)結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

(1）選擇（2）求常數(shù)相對(duì)容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系結(jié)合特殊角三角函數(shù)值求得答案．

（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，可得三角恒等式為：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）.

（3）根據(jù)兩角差的余弦公式，展開(kāi)化簡(jiǎn)后可得答案．

（1）由②得sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°＝1sin 30°＝1

（2）三角恒為等式：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α），；

（3）證明如下：

sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）

＝sin2α+（cos 30°cos α+sin 30°sin α）2﹣sin α（cos 30°cos α+sin 30°sin α）

＝sin2αcos2αsin αcos αsin2αsin αcos αsin2α

sin2αcos2α.