已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線l1：y=
3
x和l2：y=-
3
x，其焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+1與雙曲線相切于點(diǎn)M且與右準(zhǔn)線交于N，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，求證：∠MFN為直角．
分析：（Ⅰ）設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2，求出參數(shù)，即可求雙曲線的方程；
（Ⅱ）由y=kx+1代入雙曲線方程，消去y，利用△=0，求出k的值，進(jìn)而求出M，N的坐標(biāo)，即可證明結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：由題意，設(shè)雙曲線方程為 3x2-y2=λ(λ＞0)⇒
x2
λ
3
-
y2
λ
=1．
又2a=1，∴a=1，
∴
λ
3
=1，∴λ=3，
∴方程為x2-
y2
3
=1；
（Ⅱ）證明：由y=kx+1代入雙曲線方程，消去y得（3-k2）x2-2kx-4=0，
由
3-k2≠0
△=0
，可得
k2≠3
k2=4
，
∴k=±2，
當(dāng)k=2時(shí)得 xM=-2，代入y=2x+1得yM=-3，
∴M（-2，-3），
由
y=2x+1
x=
1
2
⇒N(
1
2
，2)，
∴F(2，0)⇒
FM
=(-4，-3)，
FN
=(-
3
2
，2)⇒
FM
•
FN
=6-6=0⇒
FM
⊥
FN
；
當(dāng)k=-2時(shí)同理得M(2，-3)，N(
1
2
，0)，F(2，0)⇒
FM
=(0，-3)，
FN
=(-
3
2
，0)⇒
FM
•
FN
=0⇒
FM
⊥
FN
，
綜上：∠MFN為直角．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：重慶市高考真題 題型：解答題

已知以原點(diǎn)D為中心，F(xiàn)（，0）為右焦點(diǎn)的雙曲線C的離心率，。
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（2）如圖，已知過點(diǎn)M（x1，y1）的直線l1：x1x+4y1y=4與過點(diǎn)N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直線l2：x2x+4y2y=4的交點(diǎn)E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近 線分別交于G、H兩點(diǎn)，求△OGH的面積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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   （1）求雙曲線的方程；

（2）直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)P為雙曲線上異于M，N的一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPM?kPN­的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點(diǎn)到漸近

       線的距離為1，則雙曲線方程為            ．

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