Question

選修4-5：不等式選講
對于任意實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)

b

a

=t，原式變?yōu)閨t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，對任意t恒成立，故|t+1|+|2t-1|的最小值

3

2

大于或等于
|x-1|+|x-2|，從而求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答：解：原式等價于

|a+b|+|a-2b|

|a|

≥|x-1|+|x-2|，設(shè)

b

a

=t，
則原式變?yōu)閨t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，對任意t恒成立．
因?yàn)閨t+1|+|2t-1|=

3t    (t≥ 1 2 ) -t+2   (-1＜t＜ 1 2 ) -3t  ，(t≤-1)

，最小值在 t=

1

2

 時取到，為

3

2

，
所以有

3

2

≥|x-1|+|x-2|=

2x-3  (x≥2) 1  ，(1＜x＜2) 3-2x   (x≤1)

  解得 x∈[

3

4

，

9

4

]．

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．判斷|t+1|+|2t-1|的最小值

3

2

大于或等于|x-1|+|x-2|
是解題的關(guān)鍵．