Question

已知函數(shù)y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，則稱x₀是函數(shù)y=f（x）的一個不動點，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）當a=2，b=1時，求函數(shù)f（x）的不動點；
（Ⅱ）若對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不同的不動點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)y=f（x）的圖象上A，B兩點的橫坐標是函數(shù)f（x）的不動點，且直線y=kx+是線段AB的垂直平分線，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ） 當a=2，b=1時，f（x）=2x²+2x-1，解2x²+2x-1=x，
解得，
所以函數(shù)f（x）的不動點為；
（Ⅱ）因為對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不同的不動點，
所以對于任意實數(shù)b，方程f（x）=x恒有兩個不相等的實數(shù)根，
即方程ax²+（b+1）x+b-2=x恒有兩個不相等的實數(shù)根，
所以 ，即對于任意實數(shù)b，b²-4ab+8a＞0，
所以 ，
解得0＜a＜2；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個不同的不動點為x₁，x₂，則A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
且x₁，x₂是ax²+bx+b-2=0的兩個不等實根，所以，
直線AB的斜率為1，線段AB中點坐標為，
因為直線是線段AB的垂直平分線，
所以k=-1，且（-，-）在直線y=kx+上，
則-=+，a∈（0，2），
所以b=-=-，
當且僅當a=1∈（0，2）時等號成立，
又b＜0，
所以實數(shù)b的取值范圍是[-，0）．
分析：（Ⅰ）把a=2，b=1代入方程f（x）=x，解出x即可；
（Ⅱ）方程f（x）=x恒有兩個不相等的實數(shù)根，即方程ax²+（b+1）x+b-2=x恒有兩個不相等的實數(shù)根，則 對任意b恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得a的不等式；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個不同的不動點為x₁，x₂，則A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且x₁，x₂是ax²+bx+b-2=0的兩個不等實根，則，由題意可得k=-1，且AB中點（-，-）在直線y=kx+上，代入可得a，b的關(guān)系式，分離出b后根據(jù)a的范圍可得b的范圍；
點評：本題考查函數(shù)恒成立問題、直線的垂直關(guān)系直線方程，考查轉(zhuǎn)化思想，本題的關(guān)鍵是準確理解不動點的定義．