Question

（2013•福建）已知函數f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入原函數解析式中，求出函數在x=1時的導數值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；
（2）求出函數的導函數，由導函數可知，當a≤0時，f^′（x）＞0，函數在定義域（0，+∝）上單調遞增，函數無極值，當a＞0時，求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，利用原函數的單調性得到函數的極值．

解答：解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=1-

a

x

．
（1）當a=2時，f（x）=x-2lnx，f′(x)=1-

2

x

(x＞0)，
因而f（1）=1，f^′（1）=-1，
所以曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y-1=-（x-1），
即x+y-2=0
（2）由f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，x＞0知：
①當a≤0時，f^′（x）＞0，函數f（x）為（0，+∞）上的增函數，函數f（x）無極值；
②當a＞0時，由f^′（x）=0，解得x=a．
又當x∈（0，a）時，f^′（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f^′（x）＞0．
從而函數f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a-alna，無極大值．
綜上，當a≤0時，函數f（x）無極值；
當a＞0時，函數f（x）在x=a處取得極小值a-alna，無極大值．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的極值，考查了分類討論得數學思想，屬中檔題．