Question

求值：
（1）求

lg 27 +lg8-lg 1000

1 2 lg0.3+lg2

+(

5

-2)0+0.027-

2

3

×(-

1

3

)-2的值．
（2）已知0＜x＜

π

4

，sin(

π

4

-x)=

5

13

，求

cos2x

cos( π 4 +x)

的值

Answer 1

分析：（1）利用對數的運算性質，分數指數冪的運算性質，對表達式進行化簡，即可得到結果．
（2）通過(

π

4

-x)+(

π

4

+x)=

π

2

，求出cos(

π

4

+x)，把cos2x轉化為sin2（

π

4

-x），利用二倍角公式展開，即可得到結果．

解答：解：（1）∵

lg 27 +lg8-lg 1000

1 2 lg0.3+lg2

=

3 2 lg3+3lg2- 3 2

1 2 lg3- 1 2 +lg2

=3（4分）
原式=3+1+

100

9

×9=104（1分）
（2）∵(

π

4

-x)+(

π

4

+x)=

π

2

，∴cos(

π

4

+x)=sin(

π

4

-x)=

5

13

，
而cos2x=sin(

π

2

-2x)=sin2(

π

4

-x)=2sin(

π

4

-x)cos(

π

4

-x)=

120

169

∴

cos2x

cos( π 4 +x)

=

120 169

5 13

=

12

13

（5分）

點評：兩個題目都是基本知識的題目，（1）考查對數、指數的基本性質運算；（2）考查三角函數的運算，角的變換技巧是解題的關鍵，是本題解題的捷徑，當然可以利用兩角和與的三角函數化簡求值．