Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，?BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2a，M，N分別為PC、PB的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：PB⊥DM；
（3）求四棱錐P-ADMN的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)線面平行的判定定理知，只須證明MN∥AD，結(jié)合中點(diǎn)條件即可證明得；
（2）欲證PB⊥DM，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，只須證明PB⊥平面ADMN，也就是要證明AN⊥PB及AD⊥PA，而這此垂直關(guān)系的證明較為明顯，從而即可證得結(jié)論；
（3）由（1）和（2）可得四邊形ADMN為直角梯形，且∠DAN=90°，利用梯形的面積公式即可求得四棱錐P-ADMN的底面面積，從而求得其體積．

解答：證明：（1）因?yàn)镸、N分別為PC、PB的中點(diǎn)，
所以MN∥BC，且MN=

1

2

BC=

a

2

．（1分）
又因?yàn)锳D∥BC，所以MN∥AD．（2分）
又AD⊥平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（4分）
（2）因?yàn)锳N為等腰DABP底邊PB上的中線，所以AN⊥PB．（5分）
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AD⊥PA．
又因?yàn)锳D⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB．
又PB?平面PAB，所以AD⊥PB．（6分）
因?yàn)锳N⊥PB，AD⊥PB，且AN?AD=A，所以PB⊥平面ADMN．（7分）
又DM?平面ADMN，所以PB⊥DM．（8分）
解：（3）由（1）和（2）可得四邊形ADMN為直角梯形，且∠DAN=90°，
AD=2a，MN=

a

2

，AN=

2

a，所以S直角梯形ADMN=

5 2

4

a2．（9分）
由（2）PB⊥平面ADMN，得PN為四棱錐P-ADMN的高，且PN=

2

a，（10分）
所以VP-ADMN=

1

3

PN•S直角梯形ADMN=

5

6

a3．（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質(zhì)、棱柱、棱錐、棱臺的體積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力．屬于基礎(chǔ)題．