Question

已知

1

3

≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析：f（x）=ax²-2x+1的對稱軸為x=

1

a

，由

1

3

≤a≤1，知1≤

1

a

≤3，所以f（x）在[1，3]上，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．由a的符號進行分類討論，能求出g（a）的解析式．

解答：解：f（x）=ax²-2x+1的對稱軸為x=

1

a

，
∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3，
∴f（x）在[1，3]上，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
∵f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），
∴①當1≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤1時，
M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
g（a）=M（a）-N（a）=9a+

1

a

-6．
②當2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a＜

1

2

時，
M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
g（a）=M（a）-N（a）=a+

1

a

-2．
∴g（a）=

9a+ 1 a -6， 1 2 ≤a≤1 a+ 1 a -2， 1 3 ≤a＜ 1 2

．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用．