Question

（09年東城區(qū)期末理）（14分）

如圖,在直三棱柱中,.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)在上是否存在點(diǎn),使得∥平面,若存在,試給出證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解析：解法一: (Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影為.

由可得.

所以.     ………………..4分

(Ⅱ)過作于,連結(jié).

由底面可得.

故為二面角的平面角.

在中,,

在Rt中,,

故所求二面角的大小為 .  ……………………………………9分

(Ⅲ)存在點(diǎn)使∥平面,且為中點(diǎn),下面給出證明.

設(shè)與交于點(diǎn)則為中點(diǎn).

在中, 連結(jié),分別為的中點(diǎn),故為的中位線,

∥,又平面,平面,

       ∥平面.

故存在點(diǎn)為中點(diǎn),使∥平面.       ………………14分

解法二 直三棱柱,底面三邊長,

兩兩垂直.

如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,

則.

(Ⅰ),

,故.                …………….4分

(Ⅱ)平面的一個(gè)法向量為,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,,

由得

令,則.

則.

故＜＞=.

所求二面角的大小為.   ……………………………………….9分

(Ⅲ)同解法一 ……………………………………………………………..………..14分