Question

（Ⅰ）（20分）在復數(shù)范圍內解方程(i為虛數(shù)單位)
（Ⅱ）設z是虛數(shù)，ω=z+是實數(shù)，且－1＜ω＜2
（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；（10分）
（2）設u=，求證：u為純虛數(shù)；（5分）
（3）求ω－u²的最小值,（5分）

Answer 1

（Ⅰ）原方程化簡為,
設z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x²+y²+2xi="1-i,"
∴x²+y²=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
（Ⅱ）（1）設z=a+bi(a、b∈R，b≠0)，
則ω=a+bi+=(a+)+(b－)i
∵ω是實數(shù)，∴,又∵b≠0，∴a²+b²=1，即|z|=1
∵ω=2a，－1＜ω＜2，∴z的實部的取值范圍是(－，1)
（2）證明：u====
由（1）知a²+b²=1,∴u=－I,又∵a∈(－，1)，b≠0，
∴u為純虛數(shù)
（3）解：ω－u²=2a+=2a+=2a－
=2a－1+=2［(a+1)+］－3
∵a∈(－，1)，∴a+1＞0,
∴(a+1)+ ≥2(當a+1=，即a=0時，上式取等號.)
∴ω－u²≥2×2－3=1,∴ω－u²的最小值為1.  

略