Question

【題目】設(shè)命題p：對(duì)任意的 ，sinx≤ax+b≤tanx恒成立，其中a，b∈R．
（1）若a=1，b=0，求證：命題p為真命題．
（2）若命題p為真命題，求a，b的所有值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若a=1，b=0，則命題p：對(duì)任意的 ，sinx≤x≤tanx恒成立，

如圖由三角函數(shù)線的定義可知，

sinx=MP，cosx=OM，x= ，

tanx=AT．

∵ 時(shí)

S△AOP= |OA||MP|= sinx，

S扇形AOP= |OA|= x，

S△AOT= |OA||AT|= tanx，

且S△AOP＜S扇形AOP＜SAOT．

∴ sinx＜ x＜ tanx

即sinx＜x＜tanx

（2）證明：若命題p為真命題，則當(dāng)x=0時(shí)，sin0≤b≤tan0，所以b=0，

此時(shí)sinx≤ax≤tanx恒成立，

若a＜1，令f（x）=ax﹣sinx， ，

則f′（x）=a﹣cosx=0在 時(shí)有唯一解，記為x0，

當(dāng)x∈[0，x0）時(shí)，f′（x）＜0，

此時(shí)f（x）≤f（0）=0恒成立，即ax≤sinx，矛盾，舍去；

若a＞1，令h（x）=ax﹣tanx， ，

則h′（x）=a﹣ =0在 時(shí)有唯一解，記為x1，

當(dāng)x∈[0，x1）時(shí)，h′（x）＞0，

此時(shí)h（x）≥h（0）=0恒成立，即ax≥tanx，矛盾，舍去；

故a=1，b=0．

【解析】（1）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心畫(huà)一個(gè)單位圓，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，在第一象限內(nèi)的圓周上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交射線OP于點(diǎn)T，根據(jù)三角函數(shù)線可知sinx=MP，tanx=AT，那么SAOP=sinx，S扇形AOP=x，SAOT=tanx，通過(guò)比較SAOP、S扇形AOP、SAOT即可；（2）當(dāng)x=0時(shí)，b=0,；根據(jù)a分類討論：當(dāng)a1時(shí)構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax-sinx，當(dāng)a1時(shí)構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax-tanx，利用導(dǎo)數(shù)分別討論兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．