Question

【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率為， 分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)， .

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線與橢圓交于相異兩點(diǎn)，且滿足直線的斜率之積為，證明：直線恒過定點(diǎn)，并采定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過定點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）設(shè)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用和離心率為得到幾何元素間的關(guān)系即可求解；（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率公式得到等式，進(jìn)而利用直線方程判定其過定點(diǎn).

試題解析：（1）由題知，，，∴，.

∴ ①

由，得 ② 又 ③

由①②③聯(lián)立解得：

∴橢圓的方程為.

（2）證明：由橢圓的方程得，上頂點(diǎn)，

設(shè)，，由題意知，

由得：

∴，

又，，

由，得，

即：，

∴，

化簡(jiǎn)得：

解得：，結(jié)合知，

即直線恒過定點(diǎn).