Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABEAE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD；
（3）求四面體BCDF的體積．

Answer 1

（1）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，
∴AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE
∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE
（2）證明：連接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE
∵BE=BC，∴F為EC的中點(diǎn)，
∵G是AC的中點(diǎn)，
∴FG∥AE
∵FG?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD；
（3）取AB中點(diǎn)O，連接OE．因?yàn)锳E=EB，所以O(shè)E⊥AB．
因?yàn)锳D⊥面ABE，OE?面ABE，所以O(shè)E⊥AD，所以O(shè)E⊥面ADC
因?yàn)锽F⊥面ACE，AE?面ACE，所以BF⊥AE．
因?yàn)镃B⊥面ABE，AE?面ABE，所以AE⊥BC．
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE，又BE?面BCE，所以AE⊥EB．
∵AE=EB=2，∴AB=2

2

，∴OE=

2

∴F到平面BCD的距離為

2

2

∴四面體BCDF的體積

1

3

×

1

2

×2×2

2

×

2

2

=

2

3