已知橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)為，，過(guò)原點(diǎn)O作傾角分別為30°，150°的兩條直線(xiàn)l1，l2，點(diǎn)A在直線(xiàn)l1上，點(diǎn)B在直線(xiàn)l2上，點(diǎn)P滿(mǎn)足（λ＞0），且點(diǎn)P恰在雙曲線(xiàn)上，
（1）求橢圓方程；
（2）求△OAB面積的最小值．
【答案】分析：（1）由橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程，題設(shè)中a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a，b，則橢圓的方程可得．
（2）依題意可求得直線(xiàn)l1和l2的方程，設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出三角形OAB的面積，把點(diǎn)P代入雙曲線(xiàn)方程求得，代入三角形面積表達(dá)式，根據(jù)均值不等式求得答案．
解答：解：（1）由解得a2=3，b2=1，
所以橢圓方程為；
（2）直線(xiàn)，直線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)，P為有向內(nèi)分點(diǎn)，=，
且將代入雙曲線(xiàn)方程，
可得：，化簡(jiǎn)得，
所以，
當(dāng)λ=1時(shí)取等，所以
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線(xiàn)與橢圓的關(guān)系，及向量的基本知識(shí)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1（-c，0），C上存在一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離與到橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅱ）若已知橢圓的左焦點(diǎn)為（-1，0），右準(zhǔn)線(xiàn)為x=4，圓x2+y2=
12
7
的切線(xiàn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（06年福建卷理）（12分）

已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

       （I）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程；

       （II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（06年福建卷文）（12分）

已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

       （I）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程；

       （II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，并且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)AB的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆江蘇省高二上學(xué)期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題滿(mǎn)分14分)

已知橢圓,其左準(zhǔn)線(xiàn)為，右準(zhǔn)線(xiàn)為，拋物線(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)，交于兩點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求線(xiàn)段的長(zhǎng)度.

 

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