給出下列三個(gè)命題中,其中所有正確命題的序號(hào)是

①函數(shù)f(x)=x+
k
x
(k≠0)在(0,+∞)上的最小值是2
k

②命題“函數(shù)f(x)=xsinx+1,當(dāng)x1,x2∈[-
π
2
,
π
2
],且|x1|>|x2|時(shí),有f(x1)>f(x2)”是真命題.
③函數(shù)f(x)=|x2-4|,若f(m)=f(n),且0<m<n,則動(dòng)點(diǎn)p(m,n)到直線5x+12y+39=0的最小距離是3-2
2
分析:①討論k的符號(hào),利用函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式進(jìn)行判斷.②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.③利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行判斷.
解答:解:①當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)f(x)=x+
k
x
(k≠0)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)無(wú)最小值,∴①錯(cuò)誤.
②∵f(x)=xsinx+1,∴f(-x)=-xsin(-x)+1=xsinx+1=f(x),即f(x)是偶函數(shù),f'(x)=sinx+xcosx,當(dāng)0≤x≤
π
2
時(shí),f'(x)≥0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)|x1|>|x2|時(shí),有f(|x1|)>f(|x2|),∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù),∴f(x1)>f(x2)成立.∴②正確.
③作出函數(shù)f(x)=|x2-4|的圖象,由圖象可知若f(m)=f(n),且0<m<n,
則0<m<2,n>2.
∴f(m)=|m2-4|=4-m2,f(n)=|n2-4|=n2-4,
由f(m)=f(n),得4-m2=n2-4,即m2+n2=8,(0<m<n),
則動(dòng)點(diǎn)P(m,n)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,半徑r=2
2
的圓弧AB上,
則由圖象可知當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B(2
2
,0
)時(shí),p(m,n)到直線5x+12y+39=0的距離最小,
此時(shí)d=
|5
2
+39|
52+122
=
5
2
+39
13
=
5
2
13
+3
,∴③錯(cuò)誤.
故答案為:②.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查各種命題的真假判斷,涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,基本不等式以及直線和圓的位置關(guān)系的判斷,綜合性較強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,平面中兩條直線l1和l 2相交于點(diǎn)O,對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M,若x,y分別是M到直線l 1和l 2的距離,則稱(chēng)有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.已知常數(shù)p≥0,q≥0,給出下列三個(gè)命題:
①若p=q=0,則“距離坐標(biāo)”為(0,0)的點(diǎn)有且只有1個(gè);
②若pq=0,且p+q≠0,則“距離坐標(biāo)”為( p,q) 的點(diǎn)有且只有2個(gè);
③若pq≠0則“距離坐標(biāo)”為 ( p,q) 的點(diǎn)有且只有3個(gè).
上述命題中,正確的有
①②
①②
.(填上所有正確結(jié)論對(duì)應(yīng)的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,平面中兩條直線l1和l2相交于點(diǎn)O,對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M,若x,y分別是M到直線l1和l2的距離,則稱(chēng)有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.已知常數(shù)p≥0,q≥0,給出下列三個(gè)命題:
①若p=q=0,則“距離坐標(biāo)”為(0,0)的點(diǎn)有且只有1個(gè);
②若pq=0,且p+q≠0,則“距離坐標(biāo)”為(p,q) 的點(diǎn)有且只有2個(gè);
③若pq≠0則“距離坐標(biāo)”為 (p,q) 的點(diǎn)有且只有4個(gè).
上述命題中,正確命題的是
①②③
①②③
.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸,
e1
,
e2
分別是與x軸,y軸正方向同向的單位向量,若向量
OP
=x
e1
+y
e2
,則把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量
OP
在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo).設(shè)
OA
=(-1,2)
,
OB
=(3,2)
,給出下列三個(gè)命題:
e1
=(1,0);
OA
e1
;
|
OB
|=
13

其中,真命題的編號(hào)是
①②
①②
.(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),定義它們之間的一種“距離”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|給出下列三個(gè)命題:
①若點(diǎn)C在線段AB上,則||AC||+||CB||=||AB||;
②在△ABC中,若∠C=90°,則||AC||2+||CB||2=||AB||2;
③在△ABC中,||AC||+||CB||>||AB||
其中真命題為
寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)).

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