已知在平面直角坐標系xoy中，向量
j
=(0，1)，△OFP的面積為2
3
，且
OF
•
FP
=t，
OM
=
3
3
OP
+
j
．
（I）設4＜t＜4
3
，求向量
OF
與
FP
的夾角θ的取值范圍；
（II）設以原點O為中心，對稱軸在坐標軸上，以F為右焦點的橢圓經(jīng)過點M，且|
OF
|=c，t=(
3
-1)c2，當|
OP
|取最小值時，求橢圓的方程．
分析：（1）由2
3
=
1
2
|
OF
|•|FP|•sinθ，得|
OF
|•|
FP
|=
4
3
sinθ
，由cosθ=
OF
•
FP
|
OF
|•|
FP
|
=
tsinθ
4
3
，得tanθ=
4
3
t
.由此可求出夾角θ的取值范圍．
（2）設P(x0，y0)，則
FP
(x0-c，y0)，
OF
=(c，0).由題設條件導出|
OP
|=
x
2
0
+
y
2
0
=
(
3
c)2+(
4
3
c
)2
≥
2
3
c•
4
3
c
=2
6
，由此可求出橢圓的方程．
解答：解：（1）由2
3
=
1
2
|
OF
|•|FP|•sinθ，得|
OF
|•|
FP
|=
4
3
sinθ
，
由cosθ=
OF
•
FP
|
OF
|•|
FP
|
=
tsinθ
4
3
，得tanθ=
4
3
t
.
∵4＜t＜4
3
∴1＜tanθ＜
3
∵θ∈[0，π]
∴夾角θ的取值范圍是（
π
4
，
π
3
）
（2）設P(x0，y0)，則
FP
(x0-c，y0)，
OF
=(c，0).∴
OF
•
FP
=(x0-c，y0)•(c，0)=(x0-c)c=t=(
3
-1)c2∴x0=
3
c
S△OFP=
1
2
|
OF
|•|y0|=2
3
∴y0=±
4
3
c

∴|
OP
|=
x
2
0
+
y
2
0
=
(
3
c)2+(
4
3
c
)2
≥
2
3
c•
4
3
c
=2
6

∴當且僅當
3
c=
4
3
c
，即c=2時，|
OP
|取最小值2
6
，此時，
OP
=(2
3
，±2
3
)
∴
OM
=
3
3
(2
3
，2
3
)+(0，1)=(2，3)
或
OM
=
3
3
(2
3
，-2
3
)+(0，1)=(2，-1)
橢圓長軸2a=
(2-2)2+(3-0)2
+
(2+2)2+(3-0)2
=8∴a=4，b2=12
或2a=
(2-2)2+(-1-0)2
+
(2+2)2+(-1-0)2
=1+
17
∴a=
1+
17
2
，b2=
1+
17
2

故所求橢圓方程為
x2
16
+
y2
12
=1．
或
x2
9+
17
2
+
y2
1+
17
2
=1
點評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應用，解題要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標系xOy內(nèi)，點P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運動．以Ox為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標準方程和直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值，并求此時M點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，且過點D（2，0）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設點A(1，
1
2
)，若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知在平面直角坐標系xoy中，圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ為參數(shù)），以ox為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
6
)=0，則圓C截直線l所得的弦長為
4
2
4
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），動點M（x，y）滿足條件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，則z=
OM
•
OC
的最大值為（　　）
A、-1B、0C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，右頂點為D（2，0），設點A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫出l的方程；如果不存在，請說明理由．

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