Question

定義函數(shù)為的階函數(shù).
（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程的解的個數(shù)；
（3）求證：.

Answer 1

（1）當時,無單調(diào)區(qū)間；
當時,的單增區(qū)間為單減區(qū)間為；
當時,的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為；
（2）當時,方程有兩個不同解.當時,方程有0個解.當或時,方程有唯一；
（3）詳見解析.

解析試題分析：(1)求導，對分情況討論；
(2)研究方程的解的個數(shù)，實質(zhì)就是研究函數(shù)的圖象.通過求導，弄清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)值的范圍，結(jié)合圖象即可知道方程的解的個數(shù).
(3)待證不等式
可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/66/b/1vs7s4.png" style="vertical-align:middle;" />，左右對照，考慮證：

再聯(lián)系到本題所給函數(shù)，可令，且研究的3階函數(shù)，即.
.由得
則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
即.又時,
再令即得證.
試題解析：(1),
令,當時,
當時,無單調(diào)區(qū)間；
當時,的單增區(qū)間為單減區(qū)間為.
當時,的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.4分.
(2)由當時,方程無解.當時,
令則由得
從而在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
當時,，當
當,即時,方程有兩個不同解.
當,即時,方程有0個解
當,或即或時,方程有唯一解.
綜上,當時,方程有兩個不同解.當時,方程有0個解.當或時,方程有唯一解. 9分.
(3)特別地：當時由得.
由得
則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.