Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，過(guò)右頂點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且B（-1，-3）．
（Ⅰ）求橢圓C和直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）記曲線(xiàn)C在直線(xiàn)l下方的部分與線(xiàn)段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D．若曲線(xiàn)x²-2mx+y²+4y+m²-4=0與D有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由離心率求得a和b的關(guān)系，把點(diǎn)B代入橢圓的方程，聯(lián)立方程求得a和b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）把圓的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓心和半徑，進(jìn)而利用圖象可知只須考慮m＜0的情形．設(shè)出圓與直線(xiàn)的切點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求得m，進(jìn)而可求得過(guò)點(diǎn)G與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)的方程，把兩直線(xiàn)方程聯(lián)立求得T，因?yàn)閰^(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為-1，2，所以切點(diǎn)T∉D，由圖可知當(dāng)⊙G過(guò)點(diǎn)B時(shí)，m取得最小值，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得m的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由離心率e=

6

3

，得

a2-b2

a

=

6

3

，即a²=3b²．①
又點(diǎn)B（-1，-3）在橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1上，即

(-3)2

a2

+

(-1)2

b2

=1．②
解①②得a²=12，b²=4，
故所求橢圓方程為

y2

12

+

x2

4

=1．
由A（2，0），B（-1，-3）得直線(xiàn)l的方程為y=x-2．
（Ⅱ）曲線(xiàn)x²-2mx+y²+4y+m²-4=0，
即圓（x-m）²+（y+2）²=8，其圓心坐標(biāo)為G（m，-2），半徑r=2

2

，
表示圓心在直線(xiàn)y=-2上，半徑為2

2

的動(dòng)圓．
由于要求實(shí)數(shù)m的最小值，由圖可知，只須考慮m＜0的情形．
設(shè)⊙G與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)T，則由

|m+2-2|

2

=2

2

，得m=±4，
當(dāng)m=-4時(shí)，過(guò)點(diǎn)G（-4，-2）與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)l'的方程為x+y+6=0，
解方程組

x+y+6=0 x-y-2=0

，得T（-2，-4）．
因?yàn)閰^(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為-1，2，
所以切點(diǎn)T∉D，由圖可知當(dāng)⊙G過(guò)點(diǎn)B時(shí)，m取得最小值，
即（-1-m）²+（-3+2）²=8，解得mmin=-

7

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．考查了知識(shí)的綜合運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合的方法的應(yīng)用．