（2011•嘉定區(qū)三模）在三棱錐A-BCD中，AD⊥面BCD，BD⊥CD，AD=BD=2，CD=2
3
，E、F分別是AC和BC的中點．
（1）求三棱錐E-CDF的體積；
（2）求二面角E-DF-C的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)值表示）．
分析：（1）以D為原點，以DB、DC、DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設點E到平面BCD的距離為d，則d=
|
n
•
DE
|
|
n
|
，然后根據(jù)錐體的體積公式解之即可．
（2）平面BCD的一個法向量為
n
=(0 ， 0 ， 1)，然后求出平面DEF一個法向量
n
1=(x，y，z)，最后根據(jù)設二面角E-DF-C的大小為θ，由圖形可知θ是銳角，則二面角的余弦值為cosθ=
|
n
•
n
1|
|
n
||
n
1|
，從而求出二面角．
解答：解：（1）以D為原點，以DB、DC、DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．
則D（0，0，0），A（0，0，2），E(0 ， 
3
 ， 1)，…（2分）F(1 ， 
3
 ， 0)，
因為AD⊥平面BCD，所以平面BCD的一個法向量為
n
=(0 ， 0 ， 1)，…（3分）
DE
=(0 ， 
3
 ， 1)，
設點E到平面BCD的距離為d，則d=
|
n
•
DE
|
|
n
|
=1，
即三棱錐E-CDF的高為1，…（4分）
因為點F是BC的中點，所以S△CDF=S△BCD，…（5分）
所以三棱錐E-CDE的體積V=
1
3
•S△CDF=
3
3
．…（7分）
（2）
DE
=(0 ， 
3
 ， 1)，
DF
=(1 ， 
3
 ， 0)，
設平面DEF一個法向量為
n
1=(x，y，z)，則
n
1⊥
DE
，
n
1⊥
DF
，從而
n
1•
DE
=0，
n
1•
DF
=0，即
3
y+z=0
x+
3
y=0
，…（9分）
取y=-
3
，則x=z=3，
n
1=(3 ， -
3
 ， 3)．…（10分）
設二面角E-DF-C的大小為θ，由圖形可知θ是銳角，
所以cosθ=
|
n
•
n
1|
|
n
||
n
1|
=
21
7
．…（11分）
因此，二面角E-DF-C的大小為arccos
21
7
．…（12分）
點評：本題主要考查了錐體的體積計算，以及二面角平面角的度量，同時考查了利用空間向量的方法求解立體幾何問題，屬于中檔題．
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{x|-2＜x＜3}
{x|-2＜x＜3}
．

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a
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b
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a
⊥
b
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2
2
．

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1-2x
x
的定義域是
(0 ， 
1
2
)
(0 ， 
1
2
)
．

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