Question

【題目】自貢某個(gè)工廠于2016年下半年對生產(chǎn)工藝進(jìn)行了改造（每半年為一個(gè)生產(chǎn)周期），從2016年一年的產(chǎn)品中用隨機(jī)抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示如圖所示，已知每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)與其中位數(shù)誤差在±5范圍內(nèi)（含±5）的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，與中位數(shù)誤差在±15范圍內(nèi)（含±15）的產(chǎn)品為合格品（不包括優(yōu)質(zhì)品），與中位數(shù)誤差超過±15的產(chǎn)品為次品．企業(yè)生產(chǎn)一件優(yōu)質(zhì)品可獲利潤20元，生產(chǎn)一件合格品可獲利潤10元，生產(chǎn)一件次品要虧損10元．

（Ⅰ）求該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤的分布列和期望；
（Ⅱ）是否有95%的把握認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”．
附：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

K2= ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）上半年的數(shù)據(jù)為：13，14，18，21，22，26，27，29，31，34，35，35，35，38， 42，43，45，46，46，53，54，57，58，61，62；
“中位數(shù)”為35，優(yōu)質(zhì)品有6個(gè)，合格品有10個(gè)，次品有9個(gè)；
下半年的數(shù)據(jù)為：13，18，20，24，24，28，29，30，31，32，33，33，35，36，37，
40，41，42，42，43，47，49，51，58，62；
“中位數(shù)”為35，優(yōu)質(zhì)品有9個(gè)，合格品有11個(gè)，次品有5個(gè)；
則這個(gè)樣本的50件產(chǎn)品的利潤的頻率分布表為

利潤	頻數(shù)	頻率
20	15	0.3
10	21	0.42
﹣10	14	0.28

所以，該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤的分布列為

	頻率	利潤
優(yōu)質(zhì)品	0.3	6
合格品	0.42	4.2
次品	0.28	﹣2.8

期望值為6+4.2﹣2.8=7.4；
（Ⅱ）由題意，填寫2×2列聯(lián)表如下；

	上半年	下半年
優(yōu)質(zhì)品	6	9	15
非優(yōu)質(zhì)品	19	16	35
	25	25	50

計(jì)算觀測值K2= ≈0.857，
由于0.857＜3.841，
所以沒有95%的把握認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)上半年和下半年的數(shù)據(jù)，得出這50件產(chǎn)品的利潤頻率分布表，寫出生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤分布列，計(jì)算期望值；（Ⅱ）填寫2×2列聯(lián)表，計(jì)算觀測值K2 ， 比較臨界值得出結(jié)論．