Question

（本小題滿分12分）
如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，BB₁=2,BC=2，D為B₁C₁的中點。
（Ⅰ）證明：B₁C⊥面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角B—AC—B₁的大小。

Answer 1

方法一：
（Ⅰ）證明：在Rt△BB₁D和Rt△B₁C₁C中，
由 得
△BB₁D∽△B₁C₁C，∠B₁DB=∠B₁CC₁。
又 ∠CB₁D+∠B₁CC₁=90°
故 ∠CB₁D+∠B₁DB=90°
故 B₁C⊥BD.·····················3分
又 正三棱柱ABC—A₁B₁C₁，D為B₁C₁的中點。
由 A₁D⊥平面B₁C，
得 A₁D⊥B₁C
又A₁D∩B₁D=D，
所以 B₁C⊥面A₁BD。···················································6分
（Ⅱ）解：設(shè)E為AC的中點，連接BE．B₁E。
在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，B₁C=B₁A，∴B₁E⊥AC，BE⊥AC，
即 ∠BEB₁為二面角B—AC—B₁的平面角·································9分
又
故
所以 二面角的大小為······································12分
方法二：
（Ⅰ）證明：設(shè)BC的中點為O，如圖建立空間直角坐標系O—xyz
依題意有
則
由
故 
又 
所以
故
又 BD∩BA₁=B
所以 B₁C⊥面A₁BD，
（Ⅱ）依題意有

設(shè)⊥平面ACB₁，⊥平面ABC。
求得
故
所以 二面角的大小為

略