【題目】如下圖,在四棱柱中,點分別為的中點.
(1)求證: 平面;
(2)若四棱柱是長方體,且,求平面與平面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)取的中點為,連結(jié),要證線面平行,即證明平面外的線與平面內(nèi)的線平行,所以證明是平行四邊形,即證明;(2)以點為原點, 分別為 軸建立空間直角坐標系,分別求平面和平面的法向量,求法向量夾角的余弦值,再求正弦值.
試題解析:(1)設的中點為,連接、.
∵為的中點,∴,且.
又∵為四棱柱的棱的中點,
∴,且,
∴四邊形是平行四邊形.∴.
又∵平面, 平面,∴平面.
(2)根據(jù)四棱柱是長方體,建立如圖所示的空間直角坐標系,設,由已知得.
,設平面的一個法向量為,
則.
∴取,解得
∴是平面的一個法向量.
由已知容易得到是平面的一個法向量.
設平面與平面所成二面角的大小為,則.
∵,∴.
∴平面與平面所成二面角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義域為R的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性并加以證明;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓O:x2+y2=16及圓內(nèi)一點F(﹣3,0),過F任作一條弦AB.
(1)求△AOB面積的最大值及取得最大值時直線AB的方程;
(2)若點M在x軸上,且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平方線,求點M的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機制,保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費率也就越高,具體浮動情況如下表:
交強險浮動因素和浮動費率比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個年度未發(fā)生責任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機購為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率;
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車,假設購進一輛事故車虧損5000元,一輛非事用戶車盈利10000元,且各種投保類型車的頻率與上述機構(gòu)調(diào)查的頻率一致,完成下列問題:
①若該銷售商店內(nèi)有六輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在店內(nèi)隨機挑選兩輛車,求這兩輛車恰好有一輛為事故車的概率;
②若該銷售商一次購進120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形OABC中,點C(1,3).
(1)求OC所在直線的斜率;
(2)過點C作CD⊥AB于點D,求CD所在直線的方程.
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