Question

（選做題）請考生在A、B、C三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時請寫清題號．
A．選修4-1（幾何證明選講）已知AD為圓O的直徑，直線BA與圓O相切與點A，直線OB與弦AC垂直并相交于點G，與弧AC相交于M，連接DC，AB=10，AC=12．
（Ⅰ）求證：BA•DC=GC•AD；（Ⅱ）求BM．
B．選修4-4（坐標系與參數(shù)方程）求直線（t為參數(shù)）被曲線所截的弦長．
C．選修4-5（不等式選講）（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）已知a≠b，求證：a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．

Answer 1

【答案】分析：A．（Ⅰ）因為AC⊥OB，所以∠AGB=90°又AD是圓O的直徑，所以∠DCA=90°因為∠BAG=∠ADC，所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以，由此能夠證明BA•DC=GC•AD．
（Ⅱ）因為AC=12，所以AG=6，因為AB=10，所以，由Rt△AGB∽Rt△DCA，所以，所以圓的直徑2r=15，由此能求出BM．
B．由得直線的普通方程為3x+4y+1=0，由，得，再由點到直線的距離公式能名求出所求的弦長．
…（12分）
C．（Ⅰ）函數(shù)定義域為[5，6]，y＞0．由，能求出y_max．
（Ⅱ）a⁴+6a²b²+b⁴-4ab（a²+b²）=（a-b）⁴，由此能夠證明a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．
解答：A．（Ⅰ）證明：因為AC⊥OB，所以∠AGB=90°
又AD是圓O的直徑，所以∠DCA=90°
又因為∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所對圓周角）
所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以
又因為OG⊥AC，所以GC=AG
所以，即BA•DC=GC•AD…（6分）
（Ⅱ）解：因為AC=12，所以AG=6，
因為AB=10，所以
由（1）知：Rt△AGB∽Rt△DCA，所以
所以AD=15，即圓的直徑2r=15
又因為AB²=BM•（BM+2r），即BM²+15BM-100=0
解得BM=5．…（12分）
B．解：由得直線的普通方程為3x+4y+1=0，
∵，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ∴x²+y²=x-y，
即，
由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離，
∴所求的弦長為．
…（12分）
C．解：（Ⅰ）函數(shù)定義域為[5，6]，y＞0．
∵
當且僅當x-5=6-x時，即當時，
y_max=5．…（6分）
（Ⅱ）a⁴+6a²b²+b⁴-4ab（a²+b²）

=（a²-b²）²-4ab（a-b）²=（a+b）²（a-b）²-4ab（a-b）²
=（a-b）²（a²+2ab+b²-4ab）=（a-b）²（a-b）=（a-b）⁴
∵a≠b，
∴
∴a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．…（12分）
點評：A考查直線與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意三角形相似的性質(zhì)和應用；
B考查參數(shù)方程和極坐標，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)和點到直線的距離公式的靈活運用；
C考查不等式的性質(zhì)和證明，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，注意作差法在不等式證明中的靈活運用．