Question

已知非零向量e₁、e₂不共線(xiàn)，如果=e₁+e₂, =2e₁+8e₂, =3e₁-3e₂,求證：A、B、C、D共面.

Answer 1

證明：令λ(e₁+e₂)+μ(2e₁+8e₂)+v(3e₁-3e₂)=0,?

則(λ+2μ+3v)e₁+(λ+8μ-3v)e₂=0.?

∵e₁、e₂不共線(xiàn),∴?

易知是其中一組解.?

則-5++=0,?

∴A、B、C、D共面.

另證:觀察易得+=(2e₁+8e₂)+(3e₁-3e₂)=5e₁+5e₂=5(e₁+e₂)=5.?

∴=+.?

由共面向量知, ,,共面.?

又它們有公共點(diǎn)A,∴A、B、C、D四點(diǎn)共面.

點(diǎn)評(píng)：要證四點(diǎn)共面,可先作出從同一點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量,由向量共面推知點(diǎn)共面,應(yīng)注意待定系數(shù)法的應(yīng)用.