Question

已知點（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點，等比數(shù)列a_n的前n項和為f（n）-c，數(shù)列b_n（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{

1

bnbn+1

前n項和為T_n，問：T_n＞

1000

2013

的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

分析：（1）由條件先求出f（x），再求出數(shù)列的前三項，由前三項成等比數(shù)列求出c的值，則通項{a_n}可求；判斷數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，求出其通項后則可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）利用裂項法求出數(shù)列的和，代入不等式可求最小正整數(shù)n．

解答：解：（1）因為f（x）=a^x，且f（1）=

1

3

，所以a=

1

3

，所以f（x）=（

1

3

）^x．
所以a₁=f（1）-c=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

．
又數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，所以a₁=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，所以c=1，
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，所以a_n=-

2

3

（

1

3

）^n-1=-2•（

1

3

）ⁿ（n∈N^* ），
所以S_n-S_n-1=（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
又b_n＞0，

Sn

＞0，所以

Sn

-

Sn-1

）=1，
∴數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，∴S_n=n²，
當n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，又其滿足b₁=c=1，
所以b_n=2n-1；   
（2）

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

∵T_n＞

1000

2013

，∴

n

2n+1

＞

1000

2013

∴n＞

1000

13

∴滿足T_n＞

1000

2013

的最小正整數(shù)n是77．

點評：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列的通項與求和，考查裂項相消法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．