(2011•河北區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)(ω>0)
的最小正周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[-
π
12
,
π
2
]
時,求函數(shù)f(x)的值域.
分析:(Ⅰ)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)它的周期為π求得ω的值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sin(2x-
π
6
)+
1
2
,根據(jù)x∈[-
π
12
π
2
]
及正弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)f(x)的值域.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=
1-cos2ωx
2
+
3
sinωxcosωx=
3
2
sin2ωx-
1
2
cos2ωx+
1
2
=sin(2ωx-
π
6
)+
1
2
.…(4分)
∵函數(shù)f(x)的最小正周期為π,ω>0,∴
,解得ω=1.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sin(2x-
π
6
)+
1
2
,∵x∈[-
π
12
,
π
2
]
,∴2x-
π
6
∈[-
π
3
,
6
]
.…(8分)
當(dāng)2x-
π
6
=
π
2
,即x=
π
3
時,f(x)取最大值
3
2
;…(10分)
當(dāng)2x-
π
6
=-
π
3
,即x=-
π
12
時,f(x)取最小值
1-
3
2
.…(12分)
∴函數(shù)f(x)的值域為[
1-
3
2
3
2
]
.…(13分)
點(diǎn)評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,復(fù)合三角函數(shù)的周期性的應(yīng)用,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
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