Question

設f（x）=4x²-4（a+1）x+3a+3（a∈R），若f（x）=0有兩個均小于2的不同的實數(shù)根，則此時關于x的不等式（a+1）x²-ax+a-1＜0是否對一切實數(shù)x都成立？請說明理由．

Answer 1

分析：先利用對稱軸小于2，以及方程有兩個不等實數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)先求a的范圍，再根據(jù)a的范圍對不等式的恒成立問題，就轉(zhuǎn)化二次函數(shù)解決即可．

解答：解：由題意得

△=16(a+1)2-16(3a+3)＞0 a+1 2 ＜2 f(2)=16-8(a+1)+3a+3＞0

得2＜a＜

11

5

或a＜-1；
若（a+1）x²-ax+a-1＜0對任意實數(shù)x都成立，則有：
①若a+1=0，即a=-1，則不等式化為x+2＞0不合題意
②若a+1≠0，則有

a+1＜0 a2-4(a+1)(a-1)＜0

得a＜-

2 3

3

綜上可知，只有在a＜-

2 3

3

時，（a+1）x²-ax+a-1＜0才對任意實數(shù)x都成立．
∴這時（a+1）x²-ax+a-1＜0不對任意實數(shù)x都成立

點評：本題考查函數(shù)與方程之間的關系，根的分布，以及函數(shù)恒成立問題，解決的關鍵是轉(zhuǎn)化思想．