Question

已知函數(shù)，其中．

（I）若函數(shù)有三個不同零點，求的取值范圍；

（II）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調函數(shù)，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）因為，所以函數(shù)有三個不同零點的充要條件是關于的方程有兩個不相等的非零實根，…1分

即，且.

故的取值范圍是…………5分

（II）解法一：，函數(shù)在區(qū)間上不是單調函數(shù)的充要條件是關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且至少有一個實數(shù)根在區(qū)間內(nèi). …………7分

1.若，則.

方程的兩個實根均不在區(qū)間內(nèi)，所以…………8分

若，則.

方程在區(qū)間內(nèi)有實根，所以可以為…………9分

2.若方程有一個實根在區(qū)間內(nèi)，另一個實根在區(qū)間外，

則，即…………10分

3.若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實根，則

………11分

綜合①②③④得的取值范圍是…………12分

（II）解法二：，

函數(shù)在區(qū)間上不是單調函數(shù)的充要條件是關于的方程

在區(qū)間上有實根且…………7分

關于的方程在區(qū)間上有實根的充要條件是

使得…………8分

使得

令有，記

…………10分

則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以有

即.…………11分

又由 得且

故的取值范圍是…………12分

（II）解法三：記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，

最小值為 函數(shù)f(x)在區(qū)間上不單調函數(shù)f(x)在區(qū)間上不單調

…………7分

因為函數(shù)的圖像是開口向上、對稱軸為的拋物線，

所以，

…………9分

當時，，

……11分

     故的取值范圍是

【解析】略