Question

已知圓M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，直線l：x+y-9=0，過l上一點A作△ABC，使得∠BAC=45°，邊AB過圓心M，且B，C在圓M上，求點A縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：先對圓的方程進行配方，求出圓心坐標和半徑，由點A在直線l上設(shè)出點A的坐標，由題意判斷出直線AC與圓M的位置關(guān)系，利用幾何法列出不等式，由條件和兩點之間的距離公式，將點A的坐標代入化簡再求出縱坐標的范圍．

解答：解：由2x²+2y²-8x-8y-1=0得，圓的標準方程：（x-2）²+（y-2）²=

17

2

，
∴圓心M（2，2），半徑r=

34

2

，
∵直線l：x+y-9=0，∴設(shè)A（9-a，a），
∵B，C在圓M上，
∴直線AC和圓M相交或相切，
∴圓心M到AC的距離d≤r，
∵∠BAC=45°，
∴d=

2

2

|AM|，
因此

2

2

|AM|≤r，
即

2

2

•

(7-a)2+(a-2)2

≤

34

2

，
化簡得，a²-9a+18≤0，解得3≤a≤6，
故點A的縱坐標的取值范圍是[3，6]．

點評：本題考查了幾何法在直線與圓位置關(guān)系中的應(yīng)用，兩點之間的距離公式，以及二次不等式的解法，關(guān)鍵是對條件的分析和相應(yīng)的轉(zhuǎn)化．