Question

某廠生產(chǎn)A產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，若A產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x萬(wàn)件，則需另投入成本C（x）（萬(wàn)元）．已知A產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過(guò)80萬(wàn)件時(shí)，C（x）=x²+10x；A產(chǎn)品年產(chǎn)量大于80萬(wàn)件時(shí)，C（x）=51x+-1450．因設(shè)備限制，A產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過(guò)200萬(wàn)件．現(xiàn)已知A產(chǎn)品的售價(jià)為50元/件，且年內(nèi)生產(chǎn)的A產(chǎn)品能全部銷(xiāo)售完．設(shè)該廠生產(chǎn)A產(chǎn)品的年利潤(rùn)為L(zhǎng)（萬(wàn)元）．
（1）寫(xiě)出L關(guān)于x的函數(shù)解析式L（x）；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，該廠生產(chǎn)A產(chǎn)品所獲的利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）利潤(rùn)L（x）等于銷(xiāo)售收入減去固定成本再減去投入成本C（x），根據(jù)產(chǎn)量的范圍列出分段函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)0＜x≤80時(shí)，利用配方法求二次函數(shù)的最值，當(dāng)80＜x≤200時(shí)，利用基本不等式求最值．
解答：解：（1）由題意知
L（x）=50x-C（x）-250=
；
（2）①當(dāng)0＜x≤80時(shí)，，所以
當(dāng)x=60時(shí)，L（x）_max=L（60）=950；
②當(dāng)80＜x≤200時(shí)，
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即x=180時(shí)，“=”成立．
因?yàn)?80∈（80，200]，所以L（x）_max=920＜950．
答：當(dāng)年產(chǎn)量為60萬(wàn)件時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了分段函數(shù)的值域的求法，訓(xùn)練了利用配方法求二次函數(shù)的最值及利用基本不等式求最值，是中檔題．