精英家教網(wǎng)如圖，已知△ABC的面積為14，D、E分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE與CD交于P．設(shè)存在λ和μ使
AP
=λ
AE
，
PD
=μ
CD
，
AB
=
a
，
BC
=
b
．
（1）求λ及μ；
（2）用
a
，
b
表示
BP
；
（3）求△PAC的面積．
分析：（1）根據(jù)
AP
=λ
AE
=λ(
a
+
2
3
b
)，用基底
a
、
b
 表示出
AP
．再根據(jù)
AP
=
AD
+
DP
=
2
3
AB
+
DP
，
用基底
a
、
b
 表示出
AP
．這兩種表示方式是相同的，由此求出λ及μ．
（2）把
BP
用
BA
+
AP
來表示，把（1）中的結(jié)果代入可得用基底
a
、
b
 表 示的
BP
．
（3） 根據(jù)面積之比等于對(duì)應(yīng)的向量的長度比求出△PAB和△PBC 的面積，用△ABC的面積減去△PAB和△PBC 的面積
即得△PAC的面積．
解答：解：（1）由于
AB
=
a
，
BC
=
b
，則
AE
=
a
+
2
3
b
，
DC
=
1
3
a
+
b
，
AP
=λ
AE
=λ(
a
+
2
3
b
)，
DP
=μ
DC
=μ(
1
3
a
+
b
)，
AP
=
AD
+
DP
=
2
3
AB
+
DP
，
2
3
a
+μ(
1
3
a
+
b
)=λ(
a
+
2
3
b
)，∴λ=
2
3
+
1
3
μ ①，
2
3
λ=μ ②，
由①②得λ=
6
7
，μ=
4
7

（2）
BP
=
BA
+
AP
=-
a
+
6
7
×(
a
+
2
3
b
)=-
1
7
a
+
4
7
b
．
（3）設(shè)△ABC，△PAB，△PBC的高分別為h，h1，h2，
h1：h=|
PD
|：|
CD
|=μ=
4
7
，S△PAB=
4
7
S△ABC=8，
h2：h=|
PE
|：|
AE
|=1-λ=
1
7
，S△PBC=
1
7
S△ABC=2，S△PAC=4．
精英家教網(wǎng)
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量數(shù)乘的運(yùn)算和幾何意義，把三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為向量的長度比，是解題的難點(diǎn)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A（1，0），B（5，8），C（7，-4），在邊AB上有一點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為4，在AC上求一點(diǎn)Q，使線段PQ把△ABC分成面積相等的兩部分．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)為A（2，4），B（0，-2），C（-2，3），求：
（Ⅰ）AB邊所在直線的方程；
（Ⅱ）AB邊上的高線CH所在直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知△ABC的外角∠EAC的平分線與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D，以CD為直徑的圓分別交BC，CA于點(diǎn)P、Q，求證：線段PQ平分△ABC的周長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年廣東省高二上學(xué)期第一次段考理科數(shù)學(xué)卷 題型：填空題

如圖，已知△ABC的平面直觀圖是邊長為2的正三角形，則原△ABC的面積為__________.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案