Question

已知橢圓的中心在原點，焦點F在y軸的非負半軸上，點F到短軸端點的距離是4，橢圓上的點到焦點F距離的最大值是6．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程和離心率e；
（Ⅱ）若F′為焦點F關于直線y=的對稱點，動點M滿足=e，問是否存在一個定點A，使A到點A的距離為定值？若存在，求出點A的坐標及此定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出橢圓長半軸長及半焦距，根據已知可求得a，進而利用橢圓上的點到焦點F距離的最大值是6．求得c，則b可求，進而可求得橢圓的方程和離心率．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）中橢圓的方程可求得焦點的坐標，設出M的坐標根據題意利用兩點間的距離公式求得x和y的關系式，進而判斷出存在一個定點A（0，），使M到A點的距離為定值，其定值為．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，由已知得
，
解得a=4，c=2．
所以橢圓的標準方程為．
離心率e=
（Ⅱ）F（0，2），F′（0，1），設M（x，y）由=e得

化簡得3x²+3y²-14y+15=0，即x²+（y-）²=（）²
故存在一個定點A（0，），
使M到A點的距離為定值，其定值為
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．考查學生對橢圓基礎知識的綜合理解．