Question

已知拋物線C：y=ax²（a為非零常數(shù)）的焦點為F，點P為拋物線C上一個動點，過點P且與拋物線C相切的直線記為L．
（1）求F的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點P在何處時，點F到直線L的距離最小？

Answer 1

分析：（1）把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得焦點的坐標(biāo)．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）則y₀=ax₀²，根據(jù)y′=2ax，判斷在P點處拋物線（二次函數(shù)）的切線的斜率k=2ax₀，進(jìn)而可得切線方程和焦點F到切線L的距離，最后判斷當(dāng)且僅當(dāng)x₀=0時上式取“=”此時P的坐標(biāo)是（0，0）．

解答：解：（1）拋物線方程為x²=

1

a

y，故焦點F的坐標(biāo)為（0，

1

4a

）．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）則y₀=ax₀²
∵y′=2ax，∴在P點處拋物線（二次函數(shù)）的切線的斜率k=2ax₀
∴切線L的方程是：y-y₀=k（x-x₀），即2ax₀x-y-ax₀²=0
∴焦點F到切線L的距離d=

|0- 1 4a - ax 2 0 |

(2ax0)2+(-1)2

≥

1

4|a|

當(dāng)且僅當(dāng)x₀=0時上式取“=”此時P的坐標(biāo)是（0，0）
∴當(dāng)P在（0，0）處時，焦點F到切線L的距離最�。�

點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用及拋物線與直線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析和解決問題的能力．