Question

圓C：（x-1）²+（y-2）²=25內(nèi)有一點(diǎn)P（3，1），l為過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為α的直線．
（1）若α=

3π

4

，求直線l與圓C相交弦的弦長(zhǎng)；
（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)度最短時(shí)，直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由直線的傾斜角的度數(shù)，根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系：傾斜角的正切值等于直線的斜率，得到直線l的斜率，再由直線過(guò)P，由P的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到直線l的距離即為弦心距，由弦心距及圓的半徑，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)的一半，乘以2即可得到弦的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)直線l與直線PC垂直時(shí)，直線l被圓C截得的弦最短，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，由直線CP的斜率求出直線l的斜率，再根據(jù)直線l過(guò)P點(diǎn)，由P的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線l的方程即可．

解答：解：（1）α=

3π

4

⇒kl=-1，
直線l的方程：y-1=-（x-3）即x+y-4=0
點(diǎn)C（1，2）到直線l的距離d=

|1+2-4|

2

=

2

2

，又圓C的半徑為5，
則直線l與圓C相交弦的弦長(zhǎng)為：2

52-( 2 2 )2

=7

2

；
（2）當(dāng)直線l與直線CP垂直時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)度最短.kCP=-

1

2

⇒kl=2
∴直線l的方程：2x-y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：直線傾斜角與斜率的關(guān)系，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理以及勾股定理，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常利用弦心距，弦長(zhǎng)的一半及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．