【題目】已知函數(shù).
(1)若,證明:當時,;
(2)若在只有一個零點,求.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】分析:(1)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式,(2)研究零點,等價研究的零點,先求導(dǎo)數(shù):,這里產(chǎn)生兩個討論點,一個是a與零,一個是x與2,當時,,沒有零點;當時,先減后增,從而確定只有一個零點的必要條件,再利用零點存在定理確定條件的充分性,即得a的值.
詳解:(1)當時,等價于.
設(shè)函數(shù),則.
當時,,所以在單調(diào)遞減.
而,故當時,,即.
(2)設(shè)函數(shù).
在只有一個零點當且僅當在只有一個零點.
(i)當時,,沒有零點;
(ii)當時,.
當時,;當時,.
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
故是在的最小值.
①若,即,在沒有零點;
②若,即,在只有一個零點;
③若,即,由于,所以在有一個零點,
由(1)知,當時,,所以.
故在有一個零點,因此在有兩個零點.
綜上,在只有一個零點時,.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年是中華人民共和國成立70周年,某校黨支部舉辦了一場“我和我的祖國”知識競賽,滿分100分,回收40份答卷,成績均落在區(qū)間內(nèi),將成績繪制成如下的頻率分布直方圖.
(1)估計知識競賽成績的中位數(shù)和平均數(shù);
(2)從,分數(shù)段中,按分層抽樣隨機抽取5份答卷,再從對應(yīng)的黨員中選出3位黨員參加縣級交流會,求選出的3位黨員中有2位成績來自于分數(shù)段的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中, , , ,四邊形為矩形,平面平面, .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)點在線段上運動,設(shè)平面與平面所成銳二面角為,試求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是等差數(shù)列,滿足, ,數(shù)列滿足, ,且是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·湖南)某工作的三視圖如圖3所示,現(xiàn)將該工作通過切削,加工成一個體積盡可能大的正方體新工件,并使新工件的一個面落在原工作的一個面內(nèi),則原工件材料的利用率為(材料利用率=新工件的體積/原工件的體積)
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列五個命題:
①函數(shù)f(x)=2a2x-1-1的圖象過定點(,-1);
②已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=x(x+1),若f(a)=-2則實數(shù)a=-1或2.
③若loga>1,則a的取值范圍是(,1);
④若對于任意x∈R都f(x)=f(4-x)成立,則f(x)圖象關(guān)于直線x=2對稱;
⑤對于函數(shù)f(x)=lnx,其定義域內(nèi)任意x1≠x2都滿足f()≥
其中所有正確命題的序號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)=[].
(Ⅰ)若曲線y= f(x)在點(1,)處的切線與軸平行,求a;
(Ⅱ)若在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.
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