Question

過(guò)雙曲線x²-y²=4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為105⁰的直線，交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，則|FP|•|FQ|的值為

 

．

Answer 1

分析：先由點(diǎn)斜式寫出直線方程，設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再由弦長(zhǎng)公式計(jì)算，作出解答．

解答：解：∵F(2

2

，0)，k=tan1050=-(2+

3

)．
∴l：y=-(2+

3

)(x-2

2

)．
代入x²-y²=4得：(6+4

3

)x2-4

2

(7+4

3

)x+60+32

3

=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．?x₁+x₂=

4 2 (7+4 3 )

6+4 3

，x1•x2=

60+32 3

6+4 3

．
又|FP|=

1+k2

|x1-2

2

|，|FQ|=

1+k2

|x2-2

2

|，
∴|FP|•|FQ|=(1+k2)|x1x2-2

2

(x1+x2)+8|
=(8+4

3

)•|

60+32 3

6+4 3

-

16(7+4 3 )

6+4 3

+8|
=

(8+4 3 )(+4)

6+4 3

=

8 3

3

，
故答案為：

8 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：解析幾何的綜合題在高考中的“綜合程度”往往比較高，且計(jì)算量常常較大，因此平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)要注意其深難度，同時(shí)注意加強(qiáng)計(jì)算能力的培養(yǎng)．“設(shè)而不求”和“弦長(zhǎng)公式”是常用的方法和公式．