（2013•昌平區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=sin（π-2x）+2
3
cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求f（
π
6
）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．
分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦公式，二倍角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x+
π
3
）+
3
，由此求得f（
π
6
）的值．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的解析式求得它的最小正周期，令2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=sin（π-2x）+2
3
cos2x=sin2x+
3
cos2x+
3
=2sin（2x+
π
3
）+
3
，…（4分）
∴f（
π
6
）=2sin
2π
3
+
3
=2×
3
2
+
2
=2
3
…（6分）
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+
π
3
）+
3
，∴它的最小正周期T=
2π
2
=π．…（8分）
又由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得 kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，k∈z，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈z．…（13分）
點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)二模）i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z=
2i-1
i
在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)二模）設(shè)數(shù)列{an}，對任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2…+an），（其中k、b、p是常數(shù)）．
（1）當k=0，b=3，p=-4時，求a1+a2+a3+…+an；
（2）當k=1，b=0，p=0時，若a3=3，a9=15，求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）若數(shù)列{an}中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．當k=1，b=0，p=0時，設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，a2-a1=2，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”{an}，使得對任意n∈N*，都有Sn≠0，且
1
12
＜
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
＜
11
18
．若存在，求數(shù)列{an}的首項a1的所有取值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)二模）對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．給定函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，請你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問題
（1）函數(shù)f（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的對稱中心為
（
1
2
，1）
（
1
2
，1）
；
（2）計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f（
2012
2013
）=
2012
2012
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)二模）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E為CD的中點，則
AE
•
BD
=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)二模）圓x2+（y-2）2=1的圓心到直線
x=3+t
y=-2-t
（t為參數(shù)）的距離為（　�。�

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