Question

(本小題滿分12分)
如圖，三棱錐中，底面于，
，點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).

(1) 求證：側(cè)面⊥側(cè)面;
(2) 求點(diǎn)到平面的距離;
(3) 求異面直線與所成的角的余弦.

Answer 1

（1）證明略
（2）4
（3）

（1）以所在直線為軸，所在直線軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由條件可設(shè)
(0,0,4), (0,0,0), (0,–4，0)，(4,–4,0);
則（0,–2,2），（2,–2，2）,                    --- 2分
平面的法向量(1,0,0 ), 而,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164323181324.gif" style="vertical-align:middle;" />, 所以側(cè)面⊥側(cè)面;                            --- 2分
(或 ∵ 底面， ∴ 平面⊥平面，               --- 2分
又∵ ⊥，∴ ⊥平面, ∴ 側(cè)面⊥側(cè)面;) .     --- 2分
(2) 在等腰直角三角形中, , 又中位線, 而由(1)
⊥平面, 則⊥平面, ∴ ,                    --- 2分
所以平面, 那么線段即為點(diǎn)到平面的距離. --- 2分
（3）由(1)所建坐標(biāo)系, 得=(–4,2,2), =（2,–2，2）,
∴·="–16," 又||·||=24,                             --- 2分
<,>=–,
∴ 與所成的角的余弦值是.          --- 2分