Question

已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線x=-2的距離小1．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若A、B為軌跡C上的兩點(diǎn)，已知FA⊥FB，且△FAB的面積S_△FAB=4，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線x=-2的距離小1．代入兩點(diǎn)之間距離公式，及點(diǎn)到直線的距離公式，化簡即可得到點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+m，結(jié)合FA⊥FB，且△FAB的面積S_△FAB=4，我們可以構(gòu)造出關(guān)于m的方程，解方程求出m值，即可求出滿足條件的直線AB的方程．

解答：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)題意得

(x-1)2+y2

=|x+2|-1
當(dāng)x≥-2時(shí)，則

(x-1)2+y2

=x+1
兩邊平方化簡得y²=4x
當(dāng)x＜-2時(shí)，則

(x-1)2+y2

=-x-3≥0得x≤-3
又由

(x-1)2+y2

=-x-3≥0化簡得y2=8x+8
得x≥-1與x＜-2矛盾
故點(diǎn)P的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+m
由

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0
由△=16t²+16m＞0得t²+m＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m|y1-y2|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=

16t2+16m

=4

t2+m

FA

=（x₁-1，y₁），

FB

=（x₂-1，y₂）
由

FA

•

FB

=0，得x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂=0
又由x₁=t•y₁+m，x₂=t•y₂+m，得4t²=m²-6m+1
S_△ABF=

1

2

|m-1|×4

t2+m

=|m-1|

4t2+4m

=|m-1|

m2-2m+1

=（m-1）²，
由（m-1）²=4，解得m=-1，或m=3
將m=-1代入4t²=m²-6m+1得t²=2，
將m=3代入4t²=m²-6m+1得4t²=9-18+1=-8＜O不成立，
∴m=3不合是題意舍去
∴所求直線AB的方程為x±

2

y+1=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的一般式方程，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，（1）中關(guān)鍵是根據(jù)已知，構(gòu)造關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P的方程，（2）的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”+“聯(lián)立方程”+“韋達(dá)定理”．