Question

設函數(shù)f（x）=x³﹣mx²+（m²﹣4）x，x∈R．
（1）當m=3時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）已知關于x的方程f（x）=0有三個互不相等的實根0，α，β（α＜β），求實數(shù) m 的取值范圍；
（3）在（2）條件下，若對任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥﹣恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=．
∴f'（x）=x²﹣2mx+m²﹣4
當m=3時，f '（2）=﹣3，f（2）=
所以所求的直線方程為9x+3y﹣20=0．
（2）∵函數(shù)f（x）==x[]
若關于x的方程f（x）=0有三個互不相等的實根0，α，β
則△=m²﹣＞0，
解得：﹣4＜0＜4
故滿足條件的實數(shù)m的取值范圍為（﹣4，4）
（3）∵f'（x）=x²﹣2mx+m²﹣4=[x﹣（m﹣2）][x﹣（m+2）]，
f（x）在（﹣∞，m﹣2）上遞增，在（m﹣2，m+2）遞減，在（m+2，+∞）遞增，
f（x）極大值=f（m﹣2）=（m﹣2）³﹣m（m﹣2）²+（m²﹣4）（m﹣2）＞0，
f（x）極小值=f（m+2）=（m+2）³﹣m（m+2）²+（m²﹣4）（m+2）＜0，
得﹣4＜m＜4且m²﹣4≠0，得﹣4＜m＜4，m≠±2．
若m+2＜0，即m∈（﹣4，﹣2），
當x∈[α，β]時，f（x）_min=0，
∴當m∈（﹣4，﹣2）時，f（x）≥﹣恒成立．
若m﹣2＜0＜m+2，即m∈（﹣2，2）
要使當x∈[α，β]時，f（x）≥﹣恒成立，即f（x）_min=f（m+2）≥﹣．
f（m+2）=（m+2）³﹣m（m+2）²+（m²﹣4）（m+2）≥﹣，得m（m²﹣12）≥0
∵m∈（﹣2，2）
∴m²﹣12＜0，
∴m≤0，
∴當﹣2＜m≤0時，f（x）≥﹣恒成立．
若0＜m﹣2，即m∈（2，4），要使當x∈[α，β]時，f（x）≥﹣恒成立，
即f（x）_min=f（m+2）≥﹣，
f（m+2）=（m+2）³﹣m（m+2）²+（m²﹣4）（m+2）≥﹣
得m（m²﹣12）≥0
∵m∈（2，4）
∴2≤m＜4
綜上得：m的取值范圍是（﹣4，﹣2）．