三棱錐P-ABC中，三側(cè)棱PA、PB、PC兩兩相互垂直，三側(cè)面面積分
別為S1、S2、S3，底面積為S，三側(cè)面與底面分別成角α、β、γ，（1）求S（用S1、S2、S3表示）；（2）求證：cos2α+cos2β+cos2γ=1；
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設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，則S1=ab ，S2=bc，S3=ca，
作PD⊥BC于D，連AD，
易證BC⊥平面PAD，
于是BC⊥AD；
S△ABC=BC×AD，
在Rt△APD中，AD2=a2+PD2，
在Rt△BPC中，PD2=，
∴AD2=a2+
∴S△ABC2=（BC×AD）2=（a2b2+b2c2+c2a2）=
∴
證明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是側(cè)面PBC與底面ABC所成二面角的平面角，不妨設(shè)∠PDA=α，
PD2=，AD2=
∴cos2α=；
同理cos2β=；
cos2γ=；
∴cos2α+cos2β+cos2γ="1"
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知P在矩形ABCD邊DC上，AB=2，BC=1，F(xiàn)在AB上且DF ⊥AP，垂足為E，將△ADP沿AP折起．使點(diǎn)D位于D′位置，連D′B、D′C得四棱錐D′—ABCP．
（I）求證D′F⊥AP；


 
  （II）若PD=1并且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱錐D′—ABCP的體積

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．
 
（1）證明；     （2）求與所成的角；
（3）證明面面；（4）的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

垂直于所在平面，，，與平面成角，又，①求證：是；②求與平面所成的角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，四棱錐中，底面是矩形，平面，分別是的中點(diǎn)，．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面⊥平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在四棱錐中，底面是一直角梯形，，，底面．
（1）求三棱錐的體積；
（2）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，試說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
　　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PD與CD所成角的大小；
（Ⅲ）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖3：在空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABE平面BCD；
（2）若F是AB的中點(diǎn)，BC=AD，且AB=8，AE=10，求EF的長(zhǎng)．
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

關(guān)于直線a、b，以及平面M、N，給出下列命題：
①若a//M, b//M，則a//b      ②若a//M, b⊥M，則a⊥b
③若a//b, b//M，則a//M      ④若a⊥M, a//N，則M⊥N
其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（   ）
A．0B．1C．2D．3

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