Question

如圖，在長方體ABCD­A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝4，AD＝3，AA₁＝2，E，F分別是棱AB，BC上的點，且EB＝FB＝1.
 
(1)求異面直線EC₁與FD₁所成角的余弦值；
(2)試在面A₁B₁C₁D₁上確定一點G，使DG⊥平面D₁EF.

Answer 1

（1）（2）當點G在面A₁B₁C₁D₁上，且到A₁D₁，C₁D₁距離均為時，DG⊥D₁EF.

(1)以D為原點，，，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系，

則有D(0，0,0)，D₁(0,0,2)，C₁(0,4,2)，E(3,3,0)，F(2，4,0)，
于是＝(－3,1,2)，＝(－2，－4,2)．
設EC₁與FD₁所成角為α，則cos α＝＝

∴異面直線EC₁與FD₁所成角的余弦值為.
(2)因點G在平面A₁B₁C₁D₁上，故可設G(x，y,2)．
＝(x，y,2)，＝(－2，－4，2)，＝(－1,1,0)．由
得解得
故當點G在面A₁B₁C₁D₁上，且到A₁D₁，C₁D₁距離均為時，DG⊥D₁EF