Question

已知△ABC的兩條高線所在直線的方程為2x-3y+1=0和x+y=0，頂點(diǎn)A（1，2），求：
（1）BC邊所在直線的方程；
（2）△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）判斷點(diǎn)A不在兩條高線，由高線求出AB、AC邊所在直線的斜率再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)求出AB、AC邊所在直線的方程，聯(lián)立高線方程求出B、C的坐標(biāo)，最后求出所求的直線方程．
（2）由（1）的結(jié)果求BC的長(zhǎng)和BC邊上的高，代入三角形的面積公式求解．

解答：解：（1）∵A（1，2）點(diǎn)不在兩條高線2x-3y+1=0和x+y=0上，
∴AB、AC邊所在直線的斜率分別為-

3

2

和1，
代入點(diǎn)斜式得：y-2=-

3

2

（x-1），y-2=x-1
∴AB、AC邊所在直線方程為3x+2y-7=0，x-y+1=0．
由

2x-3y+1=0 x-y+1=0

解得x=-2，y=-1，∴C（-2，-1）、
同理可求 B（7，-7）．
∴邊BC所在直線的斜率k=

-1+7

-2-7

=-

2

3

，方程是y+1=-

2

3

（x+2）
化簡(jiǎn)得2x+3y+7=0，∴邊BC所在直線的方程為 2x+3y+7=0．
（2）由（1）得，|BC|=

(7+2)2+(-7+1)2

=

117

，
點(diǎn)A到邊BC的高為h=

2+6+7

4+9

=

15

13

，
∴△ABC的面積S=

1

2

×|BC|×h=

1

2

×3

13

×

15

13

=

45

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求直線方程和聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，以及兩點(diǎn)之間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，也考查了學(xué)生的計(jì)算能力．