Question

【題目】對任意，給定區(qū)間，設(shè)函數(shù)表示實數(shù)與所屬的給定區(qū)間內(nèi)唯一整數(shù)之差的絕對值.

（1）當(dāng)時，求出的解析式；時，寫出絕對值符號表示的解析式；

（2）求，，判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)時，求方程的實根.（要求說明理由，）

Answer 1

【答案】（1），；，；（2）是偶函數(shù)，證明見解析；（3）實根為.

【解析】

（1）可知區(qū)間中唯一整數(shù)為，根據(jù)定義可得出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，同理可得出函數(shù)在區(qū)間上的解析式；

（2）根據(jù)題中定義求得和的值，可得出，然后利用函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)為偶函數(shù)，即可得出結(jié)論；

（3）要求方程的根，即求的根，對分、、三種情況討論，去絕對值符號，即可求得方程根的個數(shù).

（1）當(dāng)時，中唯一整數(shù)為，

由定義知，.

當(dāng)時，在中唯一整數(shù)為，

由定義知，；

（2），，，，下面判斷是偶函數(shù).

對任何，存在唯一，使得，則，

由可以得出，

即，

由（1）的結(jié)論，，即函數(shù)是偶函數(shù)；

（3），即，其中.

當(dāng)時，，所以方程沒有大于的實根；

容易驗證為方程的實根.

當(dāng)時對應(yīng)的，方程變?yōu)?/span>，

設(shè)，

則，

故當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，，

方程沒有滿足的實根；

當(dāng)時，對應(yīng)的，方程變?yōu)?/span>，

設(shè)，明顯函數(shù)為減函數(shù).

，

，則，所以，，

所以方程沒有滿足的實根.

綜上，若時，方程有且僅有一個實數(shù)根，實根為.