Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的，底面邊長是側(cè)棱長2倍，D、E分別是AC、A₁C₁的中點；
（Ⅰ）求證：直線AE∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求證：直線A₁D⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）求直線A₁C₁與平面BDC₁所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證直線AE∥平面BDC₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AE與平面BDC₁內(nèi)一直線平行，而易證四邊形ADC₁E為平行四邊形，則AE∥C₁D而AE?平面BDC₁，C₁D?平面BDC₁，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）根據(jù)勾股定理可知A₁D⊥C₁D，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BD⊥A₁D，而C₁D∩BD=D，滿足線面垂直的判定定理，則直線A₁D⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）由（II）可知∠A₁C₁D為直線A₁C₁與平面BDC₁所成的角，在直角三角形A₁C₁D中求出此角即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵D、E分別是AC、A₁C₁的中點
∴AD∥C₁E，AD=C₁E
則四邊形ADC₁E為平行四邊形
∴AE∥C₁D而AE?平面BDC₁，C₁D?平面BDC₁，
∴直線AE∥平面BDC₁；
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱長為1，則底面邊長為2，
根據(jù)題意可知A₁D=C₁D=

2

，A₁C₁=2
根據(jù)勾股定理可知A₁D⊥C₁D
∵BD⊥面AA₁C₁C，A₁D?面AA₁C₁C
∴BD⊥A₁D，而C₁D∩BD=D
∴直線A₁D⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）解：由（II）可知∠A₁C₁D為直線A₁C₁與平面BDC₁所成的角
而∠A₁C₁D=45°
∴直線A₁C₁與平面BDC₁所成的角為45°

點評：本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的判定和線面所成角的度量，同時考查了空間想象能力、推理論證的能力，屬于中檔題．