Question

已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA、PB是圓x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值．

Answer 1

分析：由圓的方程為求得圓心C，半徑r，由“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”，最后將四邊形轉化為兩個直角三角形面積求解．

解答：解：：∵圓的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，∴圓心C（1，1），半徑r=1．
根據(jù)題意，若四邊形面積最小，當圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，
切線長PA，PB最小．
∵圓心到直線的距離為d=

|3+4+8|

9+16

=3，∴PA=PB=

d2-r2

=2

2

．
故四邊形PACB面積的最小值為 2S_△PAC=2×

1

2

×PA×r=2

2

．

點評：本題的考點是直線與圓的位置關系，主要涉及了構造四邊形及其面積的求法，解題的關鍵是“若四邊形
面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”屬于中檔題．